【零】、题目

　　求 ∫∫∫_Ω(x²+z)dv，Ω是由 z=√(x²+y²) 与 z=1 围成的几何体

【一】、绘制图像

　　利用matlab绘制几何体Ω

>> ezmesh("(x^2+y^2)^0.5")
>> hold on
>> ezmesh("1")

　　显然，这是一个以z轴为母线，顶点为(0,0,0)底面为z=1的倒圆锥

【二】、用投影法与极坐标法求解

1. 沿z轴往xoy面投影，可在xoy上得到区域D_xy:x²+y²≤1
2. 可知对z积分时，其上限为1，下限为√(x²+y²)

3. ∬_Dxyda ∫¹_√(x²+y²) (x²+z) dz

   • = ∬_Dxy (x²z + 1/2z²)|¹_√(x²+y²) da
   • = ∬_Dxy (x²+1/2-x²√(x²+y²)-(x²+y²)/2) da
4. 转换为极坐标，可知0≤θ≤2π，0≤r≤1，令 x=rcosθ，y=rsinθ，代入有

5. ∬_Dxy (x²+1/2-x²√(x²+y²)-(x²+y²)/2) da

   • = ∫^2π₀dθ ∫¹₀ r(r²cos²θ+1/2-r³cos²θ-r²/2)dr
   • = ∫^2π₀dθ ∫¹₀ (r³cos²θ +r/2-r⁴cos²θ-r³/2)dr
   • = ∫^2π₀ (r⁴cos²θ/4+r²/4-r⁵cos²θ/5-r⁴/8)|¹₀ dθ
   • = ∫^2π₀ (cos²θ/20+1/8) dθ
   • = θ/8 | ^2π₀+1/20∫^2π₀ (cos(2θ)+1)/2 dθ
   • = π/4+θ/40|^2π₀+1/40∫^2π₀cos(2θ)d2θ
   • = π/4+π/20
   • = 3π/10

【三】、matlab求解

>> syms x y z r a
>> x=r*cos(a)
 
x =
 
r*cos(a)
 
>> y=r*sin(a)
 
y =
 
r*sin(a)
 
>> f1=int(x^2+z, z, (x^2+y^2)^0.5, 1)
 
f1 =
 
r^2*cos(a)^2 - cos(a)^2*(r^2)^(3/2) - r^2/2 + 1/2
 
>> f2=int(r * f1, r, 0, 1)
 
f2 =
 
cos(a)^2/20 + 1/8
 
>> result=int(f2, a, 0, 2*pi)
 
result =
 
(3*pi)/10