MENU

matlab计算三重积分

• September 18, 2020 • Matlab,Mathematics阅读设置

【零】、题目

  求 ∫∫∫Ω(x2+z)dv,Ω是由 z=√(x2+y2) 与 z=1 围成的几何体

【一】、绘制图像

  利用matlab绘制几何体Ω

>> ezmesh("(x^2+y^2)^0.5")
>> hold on
>> ezmesh("1")

Ω图形

  显然,这是一个以z轴为母线,顶点为(0,0,0)底面为z=1的倒圆锥

【二】、用投影法与极坐标法求解

  1. 沿z轴往xoy面投影,可在xoy上得到区域Dxy:x2+y2≤1
  2. 可知对z积分时,其上限为1,下限为√(x2+y2)
  3. Dxyda ∫1√(x2+y2) (x2+z) dz

    • = ∬Dxy (x2z + 1/2z2)|1√(x2+y2) da
    • = ∬Dxy (x2+1/2-x2√(x2+y2)-(x2+y2)/2) da
  4. 转换为极坐标,可知0≤θ≤2π,0≤r≤1,令 x=rcosθ,y=rsinθ,代入有
  5. Dxy (x2+1/2-x2√(x2+y2)-(x2+y2)/2) da

    • = ∫0dθ ∫10 r(r2cos2θ+1/2-r3cos2θ-r2/2)dr
    • = ∫0dθ ∫10 (r3cos2θ +r/2-r4cos2θ-r3/2)dr
    • = ∫0 (r4cos2θ/4+r2/4-r5cos2θ/5-r4/8)|10
    • = ∫0 (cos2θ/20+1/8) dθ
    • = θ/8 | 0+1/20∫0 (cos(2θ)+1)/2 dθ
    • = π/4+θ/40|0+1/40∫0cos(2θ)d2θ
    • = π/4+π/20
    • = 3π/10

【三】、matlab求解

>> syms x y z r a
>> x=r*cos(a)
 
x =
 
r*cos(a)
 
>> y=r*sin(a)
 
y =
 
r*sin(a)
 
>> f1=int(x^2+z, z, (x^2+y^2)^0.5, 1)
 
f1 =
 
r^2*cos(a)^2 - cos(a)^2*(r^2)^(3/2) - r^2/2 + 1/2
 
>> f2=int(r * f1, r, 0, 1)
 
f2 =
 
cos(a)^2/20 + 1/8
 
>> result=int(f2, a, 0, 2*pi)
 
result =
 
(3*pi)/10